1. Bukti tereoma AUB = BUA Pilih sembarang elemen x. Kemudian, menurut difinisi himpunan gabungan AUB = x ϵ(AUB) = xϵA ˅ xϵB xϵA ˅ xϵB .................................................menurut komutatif dari ˅ xϵB ˅ xϵA xϵ BUA.......................................................menurut definisi dari himpunan gabungan Akibatnya, setiap elemen merupakan anggota AUB dan juga BUA. Sehingga AUB = BUA 2. Bukti bahwa A∩B = B∩A Pilih sembarang elemen x. Kemudian, menurut definisi himpunan irisan A∩B = xϵ (A∩B) = xϵA ˄ xϵB xϵA ˄ xϵB xϵB ˄ xϵA ............komutatif dalam aturan logika B∩A jadi, A∩B = B∩A 3. Bukti bahwa (AUB) UC = AU(BUC) (AUB) UC = xϵ (AUB) U C xϵ(AUB) ˅ xϵC (xϵA ˅ xϵB) ˅ xϵC <=> xϵA ˅ (xϵB ˅ xϵC)..............asosiatif dalam aturan logika xϵA ˅ xϵ(BUC) xϵ AU(BUC) <=> AU(BUC) jadi, (AUB) UC = AU(BUC) 4. Bukti bahwa (A∩B)∩C = A∩(B∩C) (A∩B)∩C = xϵ(A∩B)∩C xϵ(A∩B) ˄ xϵC (xϵA ˄ xϵB) ˄ xϵC xϵA ˄ (xϵB ˄ xϵC)...............asosiatif dalam aturan logika xϵA ˄ xϵ(B∩C) xϵ A∩(B∩C) A∩(B∩C) jadi, (A∩B)∩C = A∩(B∩C) 5. Bukti teorema AU (B∩C) = (AUB) ∩ (AUC) Menurut persamaan persamaan himpunan tersebut, kita akan membuktikan bahwa ∀x| xϵ AU (B∩C) jika dan hanya jika x ϵ (AUB) ∩ (AUC) xϵ AU (B∩C) xϵA ˅ xϵ(B∩C)........menurut definisi U xϵA ˅( xϵB ˄ xϵC) ....menurut definisi ∩ (xϵA ˅ xϵB) ˄ (xϵA ˅ xϵC).......menurut definisi dari aturan pengganti logika (distributif) (xϵ AUB) ˄ (xϵ AUC) xϵ (AUB) ∩ (AUC) jadi, jelas AU (B∩C) = (AUB) ∩ (AUC) 6. Bukti bahwa A∩(BUC) = (A∩B) U (AUC) A∩(BUC) = xϵ A∩(BUC) xϵA ˄ xϵ(BUC) xϵA ˄ (xϵB ˅ xϵC) (xϵA ˄ xϵB) ˅ (xϵA ˄ xϵC)...........distributif dalam aturan logika xϵ(A∩B) ˅ xϵ(A∩C) xϵ (A∩B)U(A∩C) (A∩B)U(A∩C) jadi, A∩(BUC) = (A∩B) U (AUC)